Le volume d’une boite étant invariant par rotations, on peut toujours supposer que toutes les boites sont centrées à l’origine et on des cotés parallèles aux axes de coordonnées. Par conséquent, la donnée d’un point \((x,y,z)\) sur la sphère définit de manière unique une boite rectangulaire dont l’un des sommets est le point \((x,y,z)\). On prendra \(x,y\) et \(z\) positifs car une telle boite a toujours un sommet dans le secteur positif de l’espace. Par conséquent, on doit maximiser la fonction volume \(g(x,y,z)=8xyz\) sur la sous-variété \(S\) définie par l’équation \(f=0\) avec \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-R^2\). Un point critique de \(g\) sur \(S\) vérifie \[Dg(x,y,z)=\lambda Df(x,y,z)\] et \(f(x,y,z)=0\). On a obtient alors le système d’équations: \[\begin{array}{c} 8yz=2x \\ 8xz=2y \\ 8xy=2z \\ x^2+y^2+z^2=R^2 \end{array}\]

Par conséquent \[\begin{array}{c} 8xyz=2x^2 \\ 8xyz=2y^2 \\ 8xyz=2z^2 \\ x^2+y^2+z^2=R^2 \end{array}\] et donc comme \(x, y\) et \(z\) sont positifs, on a \(x=y=z=\frac{R}{\sqrt{3}}\). Or \(g\) est continue et \(S^+=S\cap \{x \geq 0; y \geq 0; z \geq0\}\) est un compact. Comme \(g\) est nulle sur le bord de \(S^+\), le maximum de \(g\) est ateint en un point critique de \(g\) dans l’intérieur de \(S^+\). Le seul point critique de \(g\) est donc bien ce maximum recherché. Ici, il n’y a pas eu besoin de calculer la hessienne de \(g\) sur \(S\) par la formule: \[H=D^2g-\lambda D^2f\] où \(\lambda\) est le coefficient de lagrange trouvé précédemment.

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