On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=|\sin (x/2)|.\]
1
Représenter la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-2\pi;2\pi]\).
2
Montrer que, pour tout \(x\) réel et pour tout \(n\geq 1\): \[\sin (x/2)\cos(nx)=\frac12\left(\sin \left((n+\frac 12)x\right)-\sin \left((n-\frac 12)x\right)\right).\] On pourra admettre cette formule dans la suite.
3
Montrer que la fonction \(f\) est \(2\pi-\)périodique et paire.
4
Calculer les coefficients de Fourier de \(f\) et écrire \(S(f)\) la série de Fourier de \(f\).