Soient \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) les cercles circonscrits à \(ARQ\) et \(BPR\). Traitons le premier cas, celui où ils se coupent en \(R\) et en un deuxième point \(T\).

Il s’agit de montrer que \(T, P, C, Q\) sont cocycliques.

Par le cours, il suffit de montrer l’égalité d’angles de droites \((QT,QC)=(PT,PC)\). Or on a : \[\begin{align*} (QT,QC)&=(QT,QA) \text{ car $(QC)=(QA)$}\\ &=(RT,RA) \text{ car $AQTR$ est inscriptible} \\ &= (RT,RB) \text{ car $(RA)=(RB)$} \\ &=(PT,PB) \text{ car $PTRB$ est inscriptible} \\ &=(PT,PC) \text{ car $(PB)=(PC)$.} \end{align*}\]

Attention, si on utilise des angles géométriques au lieu des angles de droites pour rédiger la solution, on peut être amené à distinguer plusieurs configurations possibles, par exemple celle-ci:

(Les angles \(\widehat{BRT}\) et \(\widehat{BPT}\) sont supplémentaires dans la première figure, et égaux dans la seconde.)

Le second cas, celui où les deux premiers cercles sont tangents en \(R\), se traite à l’aide du cas limite du théorème de l’angle au centre.

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