La suite \(u\) n’est pas majorée. Donc, \(\forall M\in\Rr,\;\exists n\in\Nn/\;u_n> M\). En particulier, \(\exists n_0\in\Nn/\;u_{n_0}\geq0\).

Soit \(k=0\). Supposons avoir construit des entiers \(n_0\), \(n_1\),..., \(n_k\) tels que \(n_0<n_1<...<n_k\) et \(\forall i\in\{0,...,k\},\;u_{n_i}\geq i\).

On ne peut avoir : \(\forall n>n_k,\;u_n<k+1\) car sinon la suite \(u\) est majorée par le nombre \(\mbox{Max}\{u_0,u_1,...,u_{n_k},k+1\})\). Par suite, \(\exists n_{k+1}>n_k/\;u_{n_{k+1}}\geq k+1\).

On vient de construire par récurrence une suite \((u_{n_k})_{k\in\Nn}\) extraite de la suite \(u\) telle que \(\forall k\in\Nn,\;u_{n_k}\geq k\) et en particulier telle que \(\lim_{k\rightarrow +\infty}u_{n_k}=+\infty\).

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