On va montrer que les polynômes sont denses dans les fonctions continues sur \([-1,1]\). Pour commencer, on approche la fonction \(\vert t\vert\).
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Montrer que la suite de polynômes définis par récurrence : \[p_{n+1}(t) = p_n(t) + {1\over 2} (t^2-p_n^2(t)),\ \ p_0(t)=0,\] converge vers \(\vert t\vert\).
2
En déduire que toute fonction affine par morceaux sur \([-1,1]\) est limite d’une suite de polynômes.
3
Montrer que les polynômes sont denses dans les fonctions continues sur \([-1,1]\).