Soit \((\alpha,\beta)\in\R^2\) et \(z\) le nombre complexe \(z=e^{i\alpha}+e^{i\beta}\). Soit \(u=\frac{\alpha+\beta}{2}\) et \(v=\frac{\alpha-\beta}{2}\). Alors, \(\alpha=u+v\) et \(\beta=u-v\) et : \[\begin{align*} z &= e^{i\alpha}+e^{i\beta}\\ &= e^{iu+iv} + e^{iu-iv} \\ &= e^{iu} (e^{iv}+e^{-iv}) \\ &= 2 \cos(v)e^{iu} \\ &= 2 \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}} \end{align*}\] On en déduit la forme trigonométrique de \(z\) : \[|z|=2|\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})| \quad\text{ et, lorsque $\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\neq0$ :}\quad\] \[Arg(z)= \begin{cases} \frac{\alpha+\beta}{2} [2\pi] & \text{ si $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}> 0$}\\ \pi+\frac{\alpha+\beta}{2} [2\pi] & \text{ si $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}< 0$}\\ \end{cases}\] (Attention, si \(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}<0\), \(z=2\cos ve^{iu}\) n’est pas la forme trigonométrique de \(z\) !).

Soit \(n\in\N\). Calculons \(z^n\) de deux façons différentes : d’une part \[z^n=(e^{i\alpha}+e^{i\beta})^n = \sum_{p=0}^n{C_{n}^p e^{ip\alpha}e^{i(n-p)\beta}},\] et d’autre part, en utilisant la forme obtenue plus haut: \(z^n=2^n \cos^n{v}\,e^{inu}\). En comparant les parties réelles des expressions obtenues on obtient : \[\sum_{p=0}^n C_{n}^p \cos[p\alpha+(n-p)\beta] = 2^n\cos^n\frac{\alpha-\beta}{2}\cos(n\frac{\alpha+\beta}{2}).\]

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