Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(t\mapsto e^{-t^2}\sin(tx)\) est continue sur \([0,+\infty[\), négligeable devant \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\) et est donc intégrable sur \([0,+\infty[\). La fonction \(F\) est donc définie sur \(\Rr\) et impaire.

Soit \(x\in\Rr\). Pour tout réel \(t\), posons \(f(t)=e^{-t^2}\sin(tx)\). Pour \(t\in\Rr\), on a

\(e^{-t^2}\sin(tx) =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}t^{2n+1}e^{-t^2}\).

Pour \(n\in\Nn\) et \(t\in\Rr\), posons \(f_n(t)=(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}t^{2n+1}e^{-t^2}\).

Chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn\), est continue puis intégrable sur \([0,+\infty[\) car négligeable devant \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

La série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\in\Nn\), converge simplement vers la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\).

Ensuite, \(\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(t)|\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\int_{0}^{+\infty}t^{2n+1}e^{-t^2}\;dt\). Pour \(n\in\Nn\), posons \(I_n=\int_{0}^{+\infty}t^{2n+1}e^{-t^2}\;dt\).

Soit \(n\in\Nn^*\). Soit \(A\) un réel strictement positif. Les deux fonctions \(t\mapsto t^{2n}\) et \(t\mapsto-\frac{1}{2}e^{-t^2}\) sont de classe \(C^1\) sur le segment \([0,A]\). On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{0}^{A}t^{2n+1}e^{-t^2}\;dt&=\int_{0}^{A}t^{2n}\times te^{-t^2}\;dt=\left[-\frac{1}{2}t^{2n}e^{-t^2}\right]_0^A+n\int_{0}^{A}t^{2n-1}e^{-t^2}\;dt\\ &=-\frac{1}{2}A^{2n}e^{-A^2}+n\int_{0}^{A}t^{2n-1}e^{-t^2}\;dt. \end{align*}\]

Quand \(A\) tend vers \(+\infty\), on obtient \(I_{n}=nI_{n-1}\). En tenant compte, de \(I_0=\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\;dt=\frac{1}{2}\) on a donc \(\forall n\in\Nn\), \(I_n=\frac{n!}{2}\) puis

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(t)|\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\).

Soient \(n\in\Nn\) et \(x\in\Rr\). \(\left|\frac{\frac{(n+1)!|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right|=\frac{(n+1)x^2}{(2n+3)(2n+2)}\) et donc \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\frac{(n+1)!|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}}=0\). D’après la règle de d’Alembert, la série numérique de terme général \(\frac{n!|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\) converge.

En résumé, pour tout réel \(x\),

Chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn\), est continue puis intégrable sur \([0,+\infty[\) car négligeable devant \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\).

La série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\in\Nn\), converge simplement vers la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\).

\(\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(t)|\;dt<+\infty\).

D’après un théorème d’intégration terme à terme, pour tout réel \(x\),

\(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(t)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n!x^{2n+1}}{2(2n+1)!}\).

\(\forall x\in\Rr\), \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n!x^{2n+1}}{2(2n+1)!}\).

\(F\) est dérivable sur \(\Rr\) et pour tout réel \(x\),

\(F'(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{n!x^{2n}}{2(2n)!}=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!x^{2n-1}}{(2(2n-1)!}=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}F(x)\).

Par suite, pour tout réel \(x\), \(e^{x^2/4}F'(x) +\frac{x}{2}e^{x^2/4}F(x)=\frac{e^{x^2/4}}{2}\) et donc

\(F(x)=F(0)+\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt =\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt\).

\(\forall x\in\Rr\), \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt=\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt\).

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