Une unité de communication militaire est composée de trois émetteurs-récepteurs indépendants. La durée de vie \(T_i\) de chaque émetteur-récepteur \(i\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Le système de communication fonctionne si et seulement si au moins deux des émetteurs-récepteurs sont opérationnels. On appelle X la variable aléatoire mesurant le temps de fonctionnement de la machine.
Montrer l’égalité entre événements: \[\left[X\geq t\right] = \left[T_1\geq t,T_2\geq t,T_3\geq t\right] \cup \left[T_1\leq t,T_2\geq t,T_3\geq t\right] \cup\] \[\left[T_1\geq t,T_2\leq t,T_3\geq t\right] \cup \left[T_1\geq t,T_2\geq t,T_3\leq t\right]\]
En déduire une expression de la fonction de répartition \(F_X\) faisant intervenir les fonctions de répartition \(F_{T_i}\).
Montrer que \(X\) suit la loi de densité \(f_X\) définie pour tout réel strictement positif par: \[f_X(t)=6\lambda e^{-2\lambda t}-6\lambda e^{-3\lambda t}\]
Calculer l’espérance de \(X\).
Soient les réels \(t>0,h>0\). Calculer la probabilité conditionnelle \(P\left(\left[X\geq t+h \mid X\geq t \right]\right)\) puis calculer la limite de la probabilité, à \(h\) fixé, lorsque \(t \to +\infty\).