On considère une variable aléatoire \(X\) suivant une loi exponentielle de paramètre \(\theta > 0\). On rappelle que sa densité est donnée par : \[f_\theta(x) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x} & \text{ si } x \geq 0 \\ 0 & \text{ sinon. } \end{cases}\] On dispose d’un échantillon \((X_1,...,X_n)\) de \(n\) variables aléatoires indépendantes et de même loi que \(X\). On cherche à estimer le paramètre \(\theta\) par la méthode du maximum de vraisemblance.
Écrire la vraisemblance \(L(\theta)\) de l’échantillon en fonction de \(\theta\) et des observations \((x_1,...,x_n)\).
En déduire la log-vraisemblance \(\ell(\theta)\) puis calculer sa dérivée \(\ell'(\theta)\).
En déduire l’estimateur du maximum de vraisemblance \(\widehat{\theta}_n\) de \(\theta\).
Vérifier que \(\widehat{\theta}_n\) est bien un maximum en étudiant le signe de \(\ell''(\theta)\).
Montrer que \(\frac{1}{\widehat{\theta}_n}\) est un estimateur sans biais de \(\frac{1}{\theta}\).