Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\). On définit la variable aléatoire \(U = \frac{X}{X+Y}\).
1
Sans calcul, déterminer les probabilités \(\PP(U \geq 0)\) et \(\PP(U \geq 1)\).
2
Déterminer, en justifiant, une fonction densité du couple de variables aléatoires \((X,Y)\).
3
Soit \(t \in ]0;1[\). Montrer que \[\PP(U \leq t) = \int_{0}^{+\infty} \left(\int_{\frac{1-t}{t}x}^{+\infty} \lambda^2 e^{-\lambda x - \lambda y} dy \right)dx\]
4
Déduire des questions précédentes la fonction de répartition de la variable aléatoire \(U\).
5
En déduire la loi de la variable aléatoire \(U\).