Soit \(\mathcal{T} \subset \mathbb{R}^2\) le triangle délimité par les sommets de coordonnées \((0,0)\), \((0,1)\) et \((2,0)\). On considère la densité \(f: \R^2 \to \R\) définie par \(f(x,y) = 1\) si \((x,y) \in \mathcal{T}\) et \(f(x,y) = 0\) sinon. Soit \((X,Y)\) un vecteur aléatoire suivant la loi de densité \(f\).
1
Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité sur \(\R^2\).
2
Montrer que la variable aléatoire marginale \(X\) suit la loi de densité \(f_X : x \mapsto \left(1-\frac{x}{2}\right) \mathbf{1}_{x \in [0,2]}\).
3
Calculer de même la densité de la loi de la marginale \(Y\).
4
Calculer la covariance \(\mathrm{Cov}(X,Y)\).
5
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?