Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rademacher \(\mathcal{R}(p)\) si :
\(\PP(X=1)=p\)
\(\PP(X=-1)=1-p\)
Définition : Soit \(\lambda >0\) : une variable \(X\) suit une loi de Laplace \(\mathcal{L}(\lambda)\) si elle admet pour densité : \[f_X(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|}\]
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(X\) suit une loi Rademacher \(\mathcal{R}(1/2)\) et \(Y\) suit une loi uniforme sur \([0;1]\). Soit \(\lambda >0\). On pose \(U = \frac{1}{\lambda} X \ln(Y)\).
On donne ou on rappelle la définition de quelques lois usuelles :
✅ Solution
Soit \(\lambda>0\) et \(U = \frac{1}{\lambda} X \ln(Y)\)
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Calculer \(\PP(\ln(Y) \leq a, X=1)\) et \(\PP(\ln(Y) \geq a, X=-1)\)
Déterminer la fonction de répartition de la variable \(U\).
En déduire que \(U\) suit une loi de Laplace \(\mathcal{L}(\lambda)\).
A partir de la fonction \texttt{rand()} qui permet de simuler une loi uniforme sur $[0;1]$ et en utilisant les résultats des questions précédentes, écrire un programme qui permet de simuler une loi de Laplace