Soient \(g\) et \(G\) deux fonctions définies pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par : \[G(x) = e^{-e^{-x}} \text{ et } g(x) = e^{-x}e^{-e^{-x}} = e^{-(x + e^{-x})}.\]
Calculer les limites \(\lim\limits_{x \to -\infty} G(x)\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} G(x)\). En déduire que \(g\) est bien une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\). On dira que \(g\), resp. \(G\) sont la densité et la fonction de répartition de la loi de Gumbel.
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle \(\mathcal{E}(1)\) de densité \(x \mapsto e^{-x}\mathbf{1}_{x \geq 0}\). Montrer que la variable aléatoire \(Z = -\ln(X)\) suit la loi de Gumbel.
Soient \(X_1, \ldots, X_n\) des v.a. indépendantes, toutes de loi exponentielle \(\mathcal{E}(1)\). On définit pour tout entier \(n \geq 1\) les variables aléatoires : \[M_n = \max(X_1, \ldots, X_n) \text{ et } Z_n = M_n - \ln(n).\]
Montrer que les variables aléatoires \(M_n\) et \(Z_n\) admettent respectivement les fonctions de répartition : \[F_{M_n} \colon x \mapsto (1 - e^{-x})^n \mathbf{1}_{x \geq 0}\] \[F_{Z_n} \colon x \mapsto \left(1 - \frac{e^{-x}}{n}\right)^n \mathbf{1}_{x \geq -\ln(n)}.\]
Pour tout entier \(n \geq 1\), déterminer des fonctions densité \(f_n\) et \(g_n\) respectivement des variables aléatoires \(M_n\) et \(Z_n\).
Montrer que la suite de fonctions \((g_n)_{n \geq 1}\) converge simplement vers la densité \(g\) de la loi de Gumbel.
Les suites de variables aléatoire \((M_n)\) et \((Z_n)\) convergent-elles en loi ?