Montrons d’abord par récurrence sur \(l\geq 2\) que la signature d’un cycle de longueur \(l\) est \((-1)^{l-1}\).

C’est connu pour \(l=2\) (signature d’une transposition).

Soit \(l\geq 2\). Supposons que tout cycle de longueur \(l\) ait pour signature \((-1)^{l-1}\). Soit \(c\) un cycle de longueur \(l+1\).

On note \(\{x_1,x_2,...,x_{l+1}\}\) le support de \(c\) et on suppose que, pour \(1\leq i\leq l\), \(c(x_i)=x_{i+1}\) et que \(c(x_{l+1})=x_1\).

Montrons alors que \(\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c\) est un cycle de longueur \(l\). \(\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c\) fixe déjà \(x_{l+1}\) puis, si \(1\leq i\leq l-1\), \(\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c(x_i)=\tau_{x_1,x_{l+1}}(x_{i+1})=x_{i+1}\) (car \(x_{i+1}\) n’est ni \(x_1\), ni \(x_{l+1}\)), et enfin \(\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c(x_l)=\tau_{x_1,x_{l+1}}(x_{l+1})=x_1\). \(\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c\) est donc bien un cycle de longueur \(l\). Par hypothèse de récurrence, \(\tau_{x_1,x_{l+1}}\circ c\) a pour signature \((-1)^{l-1}\) et donc, \(c\) a pour signature \((-1)^{(l+1)-1}\).

Montrons maintenant que si \(\sigma\) est une permutation quelconque de \(\{1,...,n\}\) ayant \(k\) orbites la signature de \(\sigma\) est \((-1)^{n-k}\).

Si \(\sigma\) est l’identité, \(\sigma\) a \(n\) orbites et le résultat est clair.

Si \(\sigma\) n’est pas l’identité, on décompose \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints.

Posons \(\sigma=c_1...c_p\) où \(p\) désigne le nombre d’orbites de \(\sigma\) non réduites à un singleton et donc \(k-p\) est le nombre de points fixes de \(\sigma\). Si \(l_i\) est la longueur de \(c_i\), on a donc \(n=l_1+...+l_p+(k-p)\) ou encore \(n-k=l_1+...+l_p-p\).

Mais alors,

\[\varepsilon(\sigma)=\prod_{i=1}^{p}\varepsilon(c_i)=\prod_{i=1}^{p}(-1)^{l_i-1}=(-1)^{l_1+...+l_p-p}=(-1)^{n-k}.\]

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