On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble \[E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.\] On pose également \(F=\mathrm{Vect}\big((1,-1,0)\big).\)
1
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).
2
Déterminer \(\dim E\) et donner une base de \(E\).
3
Montrer que \(F\) est inclus dans \(E\).
4
Trouver un sous-espace \(G\) de dimension 1 tel que \(E=F\oplus G\).
5
L’espace \(E\) est-il supplémentaire de \(\mathrm{Vect}((1,1,1))\) dans \(\mathbb{R}^3\) ?