La matrice \(H_n\) est symétrique réelle. Soit \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\).

\[\begin{align*}\ensuremath {^t}X H_n X&=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\frac{x_ix_j}{i+j-1}=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}x_ix_j\int_{0}^{1}t^{i+j-2}\;dt =\int_{0}^{1}\left(\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}x_ix_j t^{i+j-2}\right)dt\\ &=\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_it^{i-1}\right)^2dt\geqslant0 . \end{align*}\]

De plus, si \(X\neq0\), le polynôme \(\sum_{i=1}^{n}x_iY^{i-1}\) n’est pas le polynôme nul et donc, puisqu’un polynôme non nul admet un nombre fini de racines, la fonction \(t\mapsto\left(\sum_{i=1}^{n}x_it^{i-1}\right)^2\). Ainsi, la fonction \(t\mapsto\left(\sum_{i=1}^{n}x_it^{i-1}\right)^2\) est continue positive et non nulle sur \([0,1]\) et on en déduit que \(\int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_it^{i-1}\right)^2\;dt>0\). On a montré que \(\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\), \({^t}X H_n X > 0\) et donc que

la matrice \(H_n\) est symétrique définie positive.

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