Les quantiles sont à gauche : \(q_{\nu;\gamma}\) est le quantile de la loi \(\chi^2(\nu)\) avec une probabilité \(\gamma\) à gauche.
En 1908, en France, Binet publie une étude concernant la mesure de l’intelligence des enfants. Son échelle repose sur des épreuves classées par difficulté croissante. Les résultats permettent de classer les enfants dans cinq catégories : retard de deux ans, retard d’un an, résultat correspondant à l’âge, avance d’un an et avance de deux ans, notées \(-2,-1,0,+1,+2\). Il s’agit des catégories historiques de cette échelle de tests.
Les fréquences relatives présentées pour un échantillon de 192 enfants français sont :
| \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(+1\) | \(+2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0{,}06\) | \(0{,}23\) | \(0{,}48\) | \(0{,}22\) | \(0{,}01\) |
Dans cet exercice, on traite ces cinq nombres comme des probabilités de référence fixées, sans tenir compte de l’incertitude liée à leur estimation sur les 192 enfants.
Un chercheur américain, Goddard, et un chercheur allemand, Bobertag, font passer le test de Binet à 1547 enfants américains et 228 enfants allemands. Les effectifs observés sont :
| Catégorie | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(+1\) | \(+2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Goddard (\(n=1547\)) | 294 | 309 | 557 | 325 | 62 |
| Bobertag (\(n=228\)) | 6 | 40 | 119 | 57 | 6 |
Pour chaque échantillon, on suppose les observations individuelles indépendantes et de même distribution.
Au seuil de \(5\%\), tester séparément si les distributions des résultats des enfants américains et allemands sont compatibles avec la référence fixée ci-dessus. Vérifier les effectifs attendus et regrouper les classes si nécessaire.