Soient \(X_1,...,X_n\) des variables aléatoires indépendantes et de même loi ayant pour densité : \[f_\theta \colon x \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}(1+\theta x) & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{sinon.} \end{array} \right.\] où \(\theta \in [-1;1]\) est un paramètre.
Montrer que pour tout \(\theta \in [-1;1]\), \(f_\theta\) est une densité de probabilité.
Calculer \(\mathbb{E}(X_1)\) et \(\mathbb{V}(X_1)\). En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
On pose \(T_n = \frac{3}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\). Montrer que \(T\) est un estimateur sans biais et convergent de \(\theta\).
À l’aide du Théorème Central Limite, donner une approximation de la loi de \(T_n\).
Démontrer qu’il existe une constante \(M_n\) ne dépendant pas de \(\theta\) telle que si \(\lambda >0\), \[\PP(|T_n-\theta| < \lambda) \geq 1-\frac{M_n}{\lambda^2}\]
Déterminer un intervalle de confiance permettant d’estimer \(\theta\) avec une confiance d’au moins \(95\%\).