On observe \(X_1, \ldots, X_n\) indépendantes et de même loi. On suppose qu’il existe \(\theta > 0\) tel que cette loi admette la densité \(f_\theta(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta}\right)\).
Proposer un estimateur \(\hat{\theta}_n\) de \(\theta\) et étudier sa loi.
Soit \(\alpha \in ]0, 1[\). Construire un intervalle de confiance \(I_{1-\alpha} = [A_1, B_1]\) de niveau \((1-\alpha)\) pour \(\theta\), tel que \(P(\theta < A_1) = P(\theta > B_1) = \alpha/2\). Proposer deux autres intervalles de confiance de niveau \((1-\alpha)\), notés \(I_{1-\alpha}^{(2)} = [A_2, B_2]\) et \(I_{1-\alpha}^{(3)} = [A_3, B_3]\), tels que \(P(\theta < A_2) = P(\theta > B_3) = \alpha\). Quel intervalle vous semble préférable ?
Donner la loi asymptotique de \(\hat{\theta}_n\) et en déduire un intervalle de confiance asymptotique \(J_{1-\alpha}\).
On se place dans la situation où \(n = 10\), \(\hat{\theta}_n(\omega) = 2\) et \(\alpha = 5\%\). Comparer l’intervalle de confiance non asymptotique \(I_{1-\alpha}^{(1)}\) à l’intervalle de confiance asymptotique \(J_{1-\alpha}\).
On souhaite à présent tester \(H_0 : \theta \leq 3\) contre \(H_1 : \theta > 3\).
(a) À partir de la définition du niveau, construire un test \(T_\alpha(X)\) de niveau non-asymptotique \(\alpha\) pour les hypothèses \(H_0\) et \(H_1\). Déterminer la taille de ce test et sa fonction puissance.
(b) Peut-on retrouver ce résultat grâce au lien avec les intervalles de confiance de la question 2 ?
(c) Pour un seuil \(\alpha = 5\%\), lorsque \(n = 10\) et qu’on observe \(\hat{\theta}_n(\omega) = 4\), rejette-t-on l’hypothèse nulle ? Calculer la p-valeur du test et la comparer à \(\alpha\).