\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles \(q_{\nu;\gamma}\) de \(\chi^2(\nu)\), \(t_{\nu;\gamma}\) de \(St(\nu)\) et \(F_{\nu_1,\nu_2;\gamma}\) de \(F(\nu_1,\nu_2)\) sont définis avec une probabilité \(\gamma\) à gauche.
Dans une expérience fictive sur la dispersion d’impacts, on relève l’écart horizontal signé à une position de référence, en cm : positif vers la droite, négatif vers la gauche. Il ne s’agit pas d’une distance radiale au centre.
On suppose les 25 observations indépendantes de même loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\). La limite de dispersion fixée pour cet exercice est \(\sigma_0=8\) cm ; elle ne représente pas un référentiel officiel. On souhaite étayer une dispersion inférieure à cette limite, puis examiner le centrage horizontal.
| 5,2 | 12,3 | 8,7 | 6,5 | 15,1 | 9,2 | 7,4 | 11,8 | 4,9 |
| 13,6 | 9,8 | 4,1 | 11,2 | 7,8 | 13,5 | 6,9 | 10,5 | 8,3 |
| 14,2 | 5,7 | 7,2 | 10,1 | 8,9 | 12,5 | 6,3 |
Pour vérification : \(n=25\), \(\bar x=9{,}268\) cm, \(s^2=9{,}82310\) cm\(^2\) et \(s\simeq3{,}13418\) cm, avec variance corrigée. Les lettres minuscules désignent les valeurs observées ; \(\overline X\), \(S^2\) et \(S\) désignent les statistiques aléatoires correspondantes.
Tracer un diagramme en boîte, rechercher des valeurs atypiques avec le critère de Tukey et discuter ce que le graphique permet de dire sur la normalité.
On veut étayer une dispersion inférieure à 8 cm. Formuler les hypothèses, préciser le caractère unilatéral du test et justifier la statistique et sa loi de référence.
Effectuer ce test au seuil de \(5\%\) et interpréter le résultat.
Construire l’intervalle de confiance bilatéral à \(95\%\) de \(\sigma\) et une borne supérieure unilatérale à \(95\%\). Interpréter.
Une faible dispersion garantit-elle le centrage ? Tester \(\mu=0\) contre \(\mu\ne0\) à \(5\%\) et commenter.
Un second échantillon indépendant de 20 écarts signés, normal, a moyenne \(8{,}1\) cm et variance corrigée \(15{,}3\) cm\(^2\). Comparer les variances au seuil de \(5\%\).