\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(q_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(\chi^2(\nu)\) ; \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\) ; \(F_{\nu_1,\nu_2;\gamma}\) pour la loi \(F(\nu_1,\nu_2)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Les poids \(X_1,\ldots,X_{16}\) de 16 bestioles constituent un échantillon indépendant de loi \(\mathcal N(100,5)\) (en grammes). On pose \(\overline X=\frac1{16}\sum X_i\).
Déterminer la loi de \(\overline X\).
Déterminer la loi de \(Q=\frac{\sum_{i=1}^{16}(X_i-100)^2}{25}\), puis \(q\) tel que \(\mathbb P(Q>q)=0{,}05\).
Déterminer la loi de \(V=\frac{\sum_{i=1}^{16}(X_i-\overline X)^2}{25}\), puis \(v\) tel que \(\mathbb P(V>v)=0{,}05\).
Déterminer la loi de \(W=\frac{4\sqrt{15}(\overline X-100)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{16}(X_i-\overline X)^2}}\), puis \(w\) tel que \(\mathbb P(W>w)=0{,}05\).
On pèse aussi 10 bestioles d’une autre population. Leurs poids \(Y_1,\ldots,Y_{10}\) forment un échantillon indépendant de loi \(\mathcal N(110,5)\), indépendant des \(X_i\). On note \(S_X^2\) et \(S_Y^2\) les variances corrigées des deux échantillons. Déterminer la loi de \(F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}\), puis \(f\) tel que \(\mathbb P(F>f)=0{,}05\).
On ne suppose plus les poids normaux : les \(X_i\) sont seulement indépendants, de même loi, d’espérance \(100\) g et d’écart-type \(5\) g. Parmi les résultats précédents, lesquels restent valables ? Que donne le théorème central limite pour \(\overline X\), et pourquoi faut-il rester prudent avec \(16\) observations ?