On considère un échantillon \((X_i)\) de taille \(n=4\) dans une population suivant une loi normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\).
On pose \[T_1 = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4} X_i \qquad T_2 = \frac{1}{5}(2X_1+X_2)+\frac{1}{10}(3X_3+X_4)\] \[U = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{4} {(X_i-\mu)^2} \qquad V = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{4} {(X_i-T_1)^2}\]
On cherche à estimer \(\mu\) à l’aide des estimateurs \(T_1\) et \(T_2\). Étudier leur biais et comparer leurs efficacités.
Quelle est la loi suivie par la variable \(T_1\) ? la variable \(T_2\) ? la variable \(U\) ? la variable \(V\) ? justifier.
Déterminer \(x \in \R\) tel que \(\PP(U>x) = 0{,}05\).
A l’aide du tableur, calculer \(\PP(V > 5)\) avec une précision de \(10^{-8}\).
Quelle est la loi de la variable aléatoire \(\frac{4(T_1-\mu)}{{\sigma \sqrt{U}}}\) ?