On définit trois variables aléatoires indépendantes \((X_1,X_2,X_3)\) suivant chacune une loi normale d’espérance \(\mu=10\) et de variance \(\sigma^2=4\).
On pose \[\overline{X} = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3} X_i \qquad {T} = \frac27 X_1+\frac37 X_2+\frac27 X_3\] \[U = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{3} {(X_i-10)^2} \qquad V = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{3} {(X_i-\overline{X})^2}\]
Déterminer, en justifiant par un calcul, la loi de la variable aléatoire \(T\).
Vérifier que \(\overline{X}\) et \(T\) sont deux estimateurs sans biais de \(\mu\). Lequel de ces deux estimateurs de \(\mu\) est le plus efficace ?
Déterminer, en justifiant, la loi de la variable aléatoire \(U\) et la loi de la variable \(V\).
A l’aide des tables de valeurs, déterminer un réel \(t\) tel que \(\PP(V>t) = 0.95\).
On pose \[Y = \frac{\overline{X}-10}{\sqrt{\frac{2V}{3}}}\] Parmi les formules suivantes, laquelle permet de déterminer le réel \(t\) tel que \(\prob(Y > t) = 0.025\) ?
=LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0.95)=LOI.KHIDEUX.INVERSE(0,975;2)=1-LOI.KHIDEUX.INVERSE(0,025;3)=LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,975;2)=1-LOI.STUDENT.INVERSE.N(0,025;3)