On considère un échantillon i.i.d. \((X_i)_{1 \leq i \leq n}\) avec \(n \geq 3\) et \(X_1\) de densité \(f_\theta(x) = \theta \exp(-\theta x) \mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x)\), où \(\theta > 0\) est le paramètre inconnu.
Dans cet exercice on pourra utiliser le résultat suivant:
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires. Supposons qu’il existe un réel \(a\) et une variable \(X\) tels que:
\[\sqrt{n}(X_n-a) \xrightarrow[n\to\infty]{\mathcal{L}} X.\]
Si \(g\) est une fonction dérivable en \(a\), alors
\[\sqrt{n}(g(X_n)-g(a)) \xrightarrow[n\to\infty]{\mathcal{L}} g'(a)X.\]
On propose d’estimer \(\theta\) par \(Y_n = \frac{n}{ \sum_{i=1}^n X_i}\).
(a) Montrer que la v.a. \(Y_n\) est bien définie.
(b) Expliquer pourquoi il est logique de choisir \(Y_n\) comme estimateur de \(\theta\).
(c) Déterminer la loi limite de \(\sqrt{n}(Y_n - \theta)\).
(d) Donner la loi de \(\sum_{i=1}^n X_i\). En déduire la valeur de \(E[(Y_n - \theta)^2]\).
Pour estimer \(\theta\), on propose d’utiliser \(Z_n = \frac{n-1}{n} Y_n\).
(a) \(Z_n\) vérifie-t-il des propriétés de convergence similaires à celles de \(Y_n\) ?
(b) Qui de \(Y_n\) ou \(Z_n\) choisiriez-vous pour estimer \(\theta\) ?
Soit \(\alpha \in ]0, 1[\). Donner un intervalle de confiance bilatère de niveau asymptotique \((1-\alpha)\) pour \(\theta\).
Proposer un test de niveau asymptotique \(\alpha\) pour tester \(H_0 : \theta \geq 1\) contre \(H_1 : \theta < 1\).
Proposer un test de niveau asymptotique \(\alpha\) pour tester \(H_0 : \theta = 1\) contre \(H_1 : \theta \neq 1\).