On considère un échantillon \(X_1,\ldots,X_n\) de variables indépendantes de loi \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), avec \(n\geq2\) et \(\sigma>0\). Le second paramètre désigne l’écart-type. On pose \[\overline X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2,\qquad S=\sqrt{S^2}.\] Les calculs numériques sont à réaliser au tableur. Les quantiles utilisés sont des quantiles à gauche.
Rappeler les lois de \(Z=\frac{\sqrt n(\overline X-\mu)}{\sigma}\) et de \(T=\frac{\sqrt n(\overline X-\mu)}{S}\). Quelle différence entre leurs dénominateurs justifie l’emploi de deux lois différentes ?
Pour \(n=5,15,30,100\), construire un tableau donnant les degrés de liberté de \(T\), le quantile d’ordre \(0{,}975\) de sa loi et celui de \(\mathcal N(0,1)\). Arrondir l’affichage à quatre décimales, en conservant la précision des calculs.
Pour chaque taille, déterminer \(c_n>0\) tel que \(\mathbb P(-c_n\leq T\leq c_n)=0{,}95\). Expliquer pourquoi on utilise le quantile d’ordre \(0{,}975\), et non celui d’ordre \(0{,}95\).
Posons \(u=\Phi^{-1}(0{,}975)\), où \(\Phi\) est la fonction de répartition de \(\mathcal N(0,1)\). Si l’on remplace \(c_n\) par \(u\simeq1{,}959964\), la probabilité centrale vaut-elle encore exactement \(95\%\) ? La calculer au tableur pour les quatre tailles.
Commenter l’affirmation : À partir de 30 observations, la statistique \(T\) suit une loi normale.