On rappelle qu’une variable \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p \in ]0;1[\) si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbb N^*=\{1;2;3;\ldots\}\) et si pour tout \(k \in \mathbb N^*\), \[\mathbb P(X=k)=p(1-p)^{k-1}\]
On cherche à estimer ce paramètre \(p\) à partir d’un échantillon de variables indépendantes et identiquement distribuées.
On considère un échantillon \((X_1,X_2,X_3,X_4,X_5)\) ayant pour loi mère une loi géométrique de paramètre \(p\) et on suppose que la suite \((3;4;4;2;3)\) constitue une réalisation de cet échantillon.
Exprimer la fonction de vraisemblance associée à cet échantillon.
En déduire une estimation de \(p\) par la méthode du maximum de vraisemblance.
Afin de déterminer un estimateur de \(p\), on considère maintenant un \(n\)-échantillon \((X_1,\ldots,X_n)\) ayant pour loi mère une loi géométrique de paramètre \(p\) et \(n\) entiers non nuls \((x_1,\ldots,x_n)\) constituant une réalisation de cet échantillon.
Exprimer la fonction de vraisemblance associée à cet échantillon.
En utilisant la méthode du maximum de vraisemblance, déterminer un estimateur du paramètre \(p\). Discuter le cas où tous les \(x_i\) valent 1.