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Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équivalence : \[E=\mathrm{Ker}(f)\oplus \mathrm{Im} (f)\Leftrightarrow \mathrm{Im} f=\mathrm{Im} f^{2}.\]
Donner un contre-exemple quand \(\dim E=+\infty .\)
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équivalence : \[E=\mathrm{Ker}(f)\oplus \mathrm{Im} (f)\Leftrightarrow \mathrm{Im} f=\mathrm{Im} f^{2}.\]
Donner un contre-exemple quand \(\dim E=+\infty .\)