Si \(p\) et \(q\) sont deux entiers naturels, on note \(p\wedge q\) le plus grand commun diviseur de \(p\) et \(q\), on note également \(p|q\) si \(p\) divise \(q\). Si \(m\) est un entier supérieur ou égal à 1, on note \(\Phi_m(X)\) le polynôme cyclotomique d’ordre \(m\), \[\Phi_m(X) =\Pi_{\{k\in\{1,..,m\}/k\wedge m=1\}}(X-e^{2ik\pi/m}).\] On rappelle que \(\Phi_m(X)\) est un polynôme unitaire à coefficients entiers, irréductible dans \(\Qq[X]\). Le degré de \(\Phi_m(X)\) est \(\varphi(m)\) où \(\varphi\) est la fonction indicatrice d’Euler. On rappelle enfin que \(X^m-1 =\Pi_{d|m}\Phi_d(X\)).
Soit \(M\in GL_2(\Zz)\), d’ordre fini \(m\).
Montrer que si \(z\) est une racine complexe du polynôme caractéristique \(\chi_M(X)\) alors \(z\) est racine du polynôme \(X^m-1\).
Montrer, en résolvant l’équation \(\phi(k)=1\), qu’il y a exactement deux polynômes cyclotomiques de degré un.
Montrer de même qu’il y a exactement trois polynômes cyclotomiques de degré deux dont on donnera les expressions développées.
En déduire que le polynôme \(\chi_M(X)\) appartient à l’ensemble \(\{X^2 + X + 1,X^2 + 1,X^2-X + 1,X^2-1, (X-1)^2, (X + 1)^2\}\).
En déduire que \(m\in \{1, 2, 3, 4, 6\}\).
Donner une matrice compagnon de \(GL_2(\Zz)\) d’ordre \(6\).
Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geq 3\). On note \(\mathbb{F}_p\) un corps de cardinal \(p\). On rappelle que la surjection naturelle \(\Zz\to \mathbb{F}_p\) induit un morphisme de groupes \(R_p~:~GL_n(Z)\to GL_n(\mathbb{F}_p)\).
Soit \(M\in GL_n(\Zz)\) d’ordre \(m\geq 2\) et dans le noyau de \(R_p\). On suppose que \(M\) n’est pas l’identité. La matrice \(M\) peut donc s’écrire \(M = I_n +p^rN\) avec \(r\in\Nn^\star\) et \(N\in M_n(\Zz)-pM_n(\Zz)\).
Montrer que \(mp^rN\in p^{2r}M_n(\Zz)\). En déduire que \(p\) divise \(m\). On pose alors \(m = pm'\) et \(M'= M^p\).
Montrer que \(p\) divise \(m'\).
En déduire une contradiction.
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL_n(\Zz)\). Montrer que \(G\) est isomorphe à un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{F}_p)\).
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL_2(\Zz)\).
Montrer que le cardinal de \(G\) est un diviseur de \(48\).
Montrer que le cardinal de \(G\) ne peut pas être égal à \(48\). (On pourra, éventuellement, étudier \(\Phi_8(X)\) considéré comme un polynôme à coefficients dans \(\mathbb{F}_3\).)