Soient \(z,z',z''\) des complexes quelconques.

\(\bullet\) Reflexivité : \(z\mathcal{R}z\) car \(|z|=|z|\).
\(\bullet\) Symétrie : \(z\mathcal{R}z' \Rightarrow z'\mathcal{R}z\) car \(|z|=|z'|\) et donc \(|z'|=|z|\).
\(\bullet\) Transitivité : \(z\mathcal{R}z'\) et \(z'\mathcal{R}z''\) alors \(|z|=|z'|=|z''|\) donc \(z\mathcal{R}z''\).

En fait, nous avons juste retranscrit que l’égalité “\(=\)” est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence d’un point \(z\in\Cc\) est l’ensemble des complexes qui sont en relation avec \(z\), i.e. l’ensemble des complexes dont le module est égal à \(|z|\). Géométriquement la classe d’équivalence de \(z\) est le cerlce \(\mathcal{C}\) de centre \(0\) et de rayon \(|z|\) : \[\mathcal{C} = \left\{ |z|e^{i\theta} \ / \ \theta \in \Rr \right\}.\]

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