La fonction \(x\mapsto x(f(x) - f(x+1))\) est continue et positive sur \([1,+\infty[\).

Soit \(X\geqslant 1\).

\[\begin{align*}\ensuremath \int_{1}^{X}x(f(x) - f(x+1))\;dx&=\int_{1}^{X}xf(x)\;dx -\int_{2}^{X+1}(x-1)f(x)\;dx =\int_{1}^{X}xf(x)\;dx - \int_{2}^{X+1}xf(x)\;dx +\int_{2}^{X+1}f(x)\;dx\\ &=\int_{1}^{2}xf(x)\;dx -\int_{X}^{X+1}xf(x)\;dx +\int_{2}^{X+1} f(x)\;dx. \end{align*}\]

Maintenant \(0\leqslant\int_{X}^{X+1}xf(x)\;dx\leqslant(X+1-X)(X+1)f(X)\leqslant2Xf(X)\). D’après 1), cette dernière expression tend vers \(0\) quand \(X\) tend vers \(+\infty\). Donc, quand \(X\) tend vers \(+\infty\), \(\int_{1}^{X}x(f(x) - f(x+1))\;dx\) tend vers \(\int_{1}^{2}xf(x)\;dx+\int_{2}^{+\infty} f(x)\;dx\).

Puisque la fonction \(x\mapsto x(f(x) - f(x+1))\) est continue et positive sur \([1,+\infty[\), on sait que \(x\mapsto x(f(x) - f(x+1))\) est intégrable sur \([1,+\infty[\) si et seulement si la fonction \(X\mapsto\int_{1}^{X}x(f(x) - f(x+1))\;dx\) a une limite réelle quand \(X\) tend vers \(+\infty\). Donc la fonction \(x\mapsto x(f(x) - f(x+1))\) est intégrable sur \([1,+\infty[\) et

\(\int_{1}^{+\infty}x(f(x) - f(x+1))\;dx =\int_{1}^{2}xf(x)\;dx +\int_{2}^{+\infty}f(x)\;dx\).

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