\(\Leftarrow)\) Si \(F\subset G\) ou \(G\subset F\) alors \(F\cup G=G\) ou \(F\cup G=F\). Dans tous les cas, \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel.

\(\Rightarrow)\) Supposons que \(F\not\subset G\) et que \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et montrons que \(G\subset F\).

\(F\) n’est pas inclus dans \(G\) et donc il existe \(x\) élément de \(E\) qui est dans \(F\) et pas dans \(G\).

Soit \(y\) un élément de \(G\). \(x+y\) est dans \(F\cup G\) car \(x\) et \(y\) y sont et car \(F\cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Si \(x+y\) est élément de \(G\) alors \(x=(x+y)-y\) l’est aussi ce qui est exclu. Donc \(x+y\) est élément de \(F\) et par suite \(y=(x+y)-x\) est encore dans \(F\). Ainsi, tout élément de \(G\) est dans \(F\) et donc \(G\subset F\).

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