En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de deux nombres, définir, pour chaque ensemble \(E\) de la liste ci-dessous :
une addition \(\oplus~: E \times E \rightarrow E\) ;
une multiplication par un nombre réel \(\odot~: \mathbb{R}\times E \rightarrow E\).
\(E = \mathbb{R}^n\) ;
\(E =\) l’ensemble des trajectoires d’une particule ponctuelle dans l’espace \(\mathbb{R}^3\) ;
\(E = \textrm{l'ensemble des solutions}\,\,\,(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\,\,\, \textrm{de l'équation} \quad \mathcal{S}_1~: x - 2y + 3z = 0 ;\)
\(E = \textrm{l'ensemble des solutions}\,\,\,(x, y, z)\in \mathbb{R}^3\,\,\,\textrm{du système d'équations}\). \[\mathcal{S} _2~: \left\{ \begin{array}{l} 2x + 4y - 6z = 0\\ y + z = 0\end{array} \right. ;\]
\(E =\) l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y'' + 2 y' + 3 y = 0\) ;
\(E =\) l’ensemble des fonctions \(y(x)\) telles que \[y''(x)\sin x + x^3 y'(x) + y(x)\log x = 0,\,\,\, \forall x >0 ;\]
\(E =\) l’ensemble des fonctions \(\Psi(t, x)\), à valeurs complexes, solutions de l’équation de Schrödinger : \[i \hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t, x) = -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t) + x^2\Psi(t, x)\] où \(\hbar\) et \(m\) sont des constantes ;
\(E = \textrm{ l'ensemble des suites}\,\,\, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de nombres réels ;
\(E =\) l’ensemble des polynômes \(P(x)\) à coefficients réels ;
\(E =\) l’ensemble des polynômes \(P(x)\) à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(3\) ;
\(E =\) l’ensemble des polynômes \(P(x)\) à coefficients réels divisibles par \((x - 1)\) ;
\(E =\) l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle \([0, 1]\) à valeurs réelles ;
\(E =\) l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle \([0, 1]\) à valeurs réelles et d’intégrale nulle ;
\(E =\) l’ensemble des fonctions dérivables sur l’intervalle \(]0, 1[\) à valeurs réelles ;
\(E =\) l’ensemble des fonctions réelles qui s’annulent en \(0 \in \mathbb{R}\).
\(E =\) l’ensemble des fonctions réelles qui tendent vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ;