Soit \((a,b,c)\in\Qq^3\).

\(a+b\sqrt{2}+\sqrt{3}= 0\Rightarrow(a+b\sqrt{2})^2=(-c\sqrt{3})^2\Rightarrow a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=3c^2\Rightarrow2ab\sqrt{2}\in\Qq.\)

Mais \(\sqrt{2}\) est irrationnel donc \(ab=0\).

Si \(b=0\), puisque \(a+c=0\) et que \(\sqrt{3}\) est irrationnel, on en déduit que \(c = 0\) (sinon \(\sqrt{3}\) serait rationnel) puis \(a=0\) et finalement \(a=b=c=0\).

Si \(a=0\), il reste \(2b^2=3c^2\). Mais \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) est irrationnel (dans le cas contraire, il existe deux entiers \(p\) et \(q\) non nuls tels que \(3q^2 = 2p^2\) et par exemple l’exposant du nombre premier \(2\) n’a pas la même parité dans les deux membres de l’égalité ce qui est impossible) et donc \(b=c=0\) puis encore une fois \(a=b=c=0\).

On a montré que \(\forall(a,b,c)\in\Qq^3\), \((a+b\sqrt{2}+\sqrt{3}= 0\Rightarrow a=b=c=0)\). Donc la famille \((1,\sqrt{2},\sqrt{3})\) est une famille de réels \(\Qq\)-libre.

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