Si \(\text{rg} M\leqslant n-1\), l’égalité \(M=\text{com}M\) entraîne \(M{^t}M=M{^t}(\text{com}M)=(\text{det}M)I_n=0\) et donc \(M = 0\). En effet,

\[\begin{align*}\ensuremath M{^t}M=0&\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;M{^t}MX=0\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;{^t}XM{^t}MX = 0\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;\left\|{^t}MX\right\|^2=0\\ &\Rightarrow\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr),\;{^t}MX = 0\Rightarrow{^t}M=0\Rightarrow M=0. \end{align*}\]

En résumé, si \(M\) est solution, \(M=0\) ou \(M\) est inversible.

Dans le deuxième cas, d’après l’exercice [ex:rou17], on doit avoir \(\text{det}M=(\text{det}M)^{n-1}\) et donc, puisque \(\text{det}M\neq0\), \(\text{det}M\in\{-1,1\}\) (et même \(\text{det}M=1\) si \(n\) est impair) car \(\text{det}M\) est réel.

Si \(\text{det}M=-1\), on doit avoir \(M{^t}M=-I_n\) mais ceci est impossible car le coefficient ligne \(1\), colonne \(1\), de la matrice \(M{^t}M\) vaut \(m_{1,1}^2+...+m_{1,n}^2\neq-1\).

Il reste le cas où \(\text{det}M=1\), l’égalité \(M=\text{com}M\) entraîne \(M{^t}M=I_n\) c’est-à-dire \(M\) est orthogonale positive.

Réciproquement, si \(M\) est orthogonale positive, \({^t}M=M^{-1}=\frac{1}{\text{det}M}{^t}(\text{com}M)={^t}\text{com}M\) et donc \(M=\text{com}M\).

Finalement ,

\(\mathcal{S}=\{0\}\cup O_n^+(\Rr)\).

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