On suppose \(n\geq2\). La matrice nulle est solution du problème. Soit \(A\) un élément de \(M_n(\Cc)\) tel que \(\forall B\in M_n(\Cc),\;\mbox{det}(A+B)=\mbox{det}A+\mbox{det}B\). En particulier, \(2\mbox{det}A=\mbox{det}(2A)=2^n\mbox{det}A\) et donc \(\mbox{det}A=0\) car \(n\geq2\). Ainsi, \(A\notin GL_n(\Cc)\). Si \(A\neq 0\), il existe une certaine colonne \(C_j\) qui n’est pas nulle. Puisque la colonne \(-Cj\) n’est pas nulle, on peut compléter la famille libre \((-C_j)\) en une base \((C_1',...,-C_j,...,C_n')\) de \(M_{n,1}(\Cc)\). La matrice \(B\) dont les colonnes sont justement \(C_1\)’,...,\(-C_j\),...,\(C_n'\) est alors inversible de sorte que \(\mbox{det}A+\mbox{det}B=\mbox{det}B\neq 0\). Mais, \(A+B\) a une colonne nulle et donc \(\mbox{det}(A+B)=0\neq\mbox{det}A+\mbox{det}B\). Ainsi, seule la matrice nulle peut donc être solution du problème .

\(\forall A\in M_n(\Cc),\;(\forall M\in M_n(\Cc),\;\text{det}(A+M)=\text{det}(A)+\text{det}(M))\Leftrightarrow A=0\).

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