Dans un certain repère orthonormé, la parabole \(\mathcal{P}\) admet une équation cartésienne de la forme \(x^2=2py\). D’après la règle de dédoublement des termes, une équation de la tangente \(\mathcal{T}_{x_0}\) en un point \((x_0,y_0)=\left(x_0,\frac{x_0^2}{2p}\right)\) de \(\mathcal{P}\) est

\(xx_0=p(y+y_0)\).

Les tangentes en \(M_0(x_0,y_0)\) et \(M_1(x_1,y_1)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(x_0x_1+p^2=0\). L’orthoptique \(\mathcal{C}\) est donc l’ensemble des points d’intersection de \(\mathcal{T}_{x_0}\) et \(\mathcal{T}_{-p^2/x_0}\) où \(x_0\) décrit \(\Rr^*\). \[\begin{align*}\ensuremath M(x,y)\in\mathcal{C}&\Leftrightarrow\exists x_0\in\Rr^*/\;\left\{ \begin{array}{l} xx_0=p\left(y+\frac{x_0^2}{2p}\right)\\ -x\frac{p^2}{x_0}=p\left(y+\frac{p^3}{2x_0^2}\right) \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists t\in\Rr^*/\;\left\{ \begin{array}{l} tx-py=\frac{t^2}{2}\\ px+ty=-\frac{p^3}{2t} \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists t\in\Rr^*/\;\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{t^2+p^2}\left(\frac{t^3}{2}-\frac{p^4}{2t}\right)\\ y=\frac{1}{t^2+p^2}\left(-\frac{p^3}{2}-\frac{pt^2}{2}\right) \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists t\in\Rr^*/\;\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{t^2-p^2}{2t}\\ \rule{0mm}{6mm}y=-\frac{p}{2} \end{array} \right.. \end{align*}\] Maintenant, \(\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{t^2-p^2}{2t}=-\infty\) et \(\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{t^2-p^2}{2t}=+\infty\). Comme la fonction \(t\mapsto\frac{t^2-p^2}{2t}\) est continue sur \(]0,+\infty[\), quand \(t\) décrit \(]0,+\infty[\), \(x=\frac{t^2-p^2}{2t}\) décrit \(\Rr\). Finalement, l’orthoptique \(\mathcal{C}\) est la droite d’équation \(y=-\frac{p}{2}\) ou encore

l’orthoptique d’une parabole est sa directrice.

\[\]

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