En un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de l’ellipsoïde la règle de dédoublement des termes fournit une équation du plan tangent : \(xx_0+2yy_0+3zz_0 = 21\).

Ce plan est parallèle au plan d’équation \(x+4y+6z=0\) si et seulement si le vecteur \((x_0,2y_0,3z_0)\) est colinéaire au vecteur \((1,4,6)\) ou encore si et seulement si \(2x_0 = y_0 = z_0\).

Enfin le point \((x_0,2x_0,2x_0)\) est sur l’ellipsoïde si et seulement si \(x_0^2+8x_0^2+12x_0^2=21\) ce qui équivaut à \(x_0^2=1\).

Les plans cherchés sont les deux plans d’équations respectives \(x+4y+6z=21\) et \(x+4y+6z=-21\).

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