Soit \(\mathcal{H}\) une hyperbole. Il existe un repère orthonormé dans lequel \(\mathcal{H}\) admet une équation catésienne de la forme \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\), (\(a>0\), \(b>0\)). Dans ce repère, les asymptotes ont pour équations \(y=\frac{b}{a}x\) et \(y=-\frac{b}{a}x\). Elles sont perpendiculaires si et seulement si \(\frac{b}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)^2=-1\) ou encore si et seulement si \(a=b\). L’excentricité de \(\mathcal{H}\) est alors

\[e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{2}.\]

L’excentricité de l’hyperbole équilatère vaut \(\sqrt{2}\).

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