Solution géométrique.

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Soit \(M\) un point de l’othoptique. \(M\) est sur les tangentes \((T_0)\) et \((T_1)\) à la parabole en deux points distincts \(M_0\) et \(M_1\) et clairement distinct du sommet \(S\). Soient \(I_0\) et \(I_1\) les points d’intersection des droites \((T_0)\) et \((T_1)\) respectivement avec la tangente \((T)\) au sommet de la parabole. On sait (construction usuelle de la parabole par points et tangentes) que les droites \((T_0)\) et \((T_1)\) sont perpendiculaires aux droites \((FI_0)\) et \((FI_1)\) respectivement. Donc le quadrilatère \(FI_0MI_1\) est un rectangle (3 angles droits connus). Par suite, le milieu de \([FM]\) qui est aussi le milieu de \([I_0I_1]\) est sur la tangente au sommet \((T)\) et \(M\) est l’image d’un point de la tangente \((T)\) par l’homothétie de centre \(F\) et de rapport \(2\). Finalement, le point \(M\) est sur la directrice de la parabole.

Réciproquement, soit \(M\) un point de la directrice et \(I\) le milieu de \([FM]\). On reconstruit le rectangle précédent en plaçant d’abord sur la tangente au sommet \((T)\) les points \(I_0\) et \(I_1\) tels que \(I\) soit le milieu de \([I_0I_1]\) et tels que \(I_0I_1 = MI\). Les droites \((MI_0)\) et \((MI_1)\) sont effectivement des tangentes à la parabole qui sont perpendiculaires l’une à l’autre.

L’orthoptique d’une parabole est sa directrice.

Solution analytique. On choisit un repère orthonormé dans lequel la parabole a pour équation cartésienne \(y^2=2px\). Une équation de la tangente \((T_0)\) à la parabole en un point \(M_0=(x_0,y_0)=\left(\frac{y_0^2}{2p},y_0\right)\) est \(-px_0+yy_0 = px_0\).

Deux tangentes \((T_0)\) et \((T_1)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(p^2 + y_0y_1 = 0\) (en particulier \(y_0y_1\neq0\)). Le point d’intersection des tangentes \((T_0)\) et (T1) en deux points distincts est la solution du système \(\left\{ \begin{array}{l} -px+yy_0=px_0\\ -px+yy_1=px_1 \end{array} \right.\) et a donc pour coordonnées \(\left(\frac{p(x_0y_1-y_0x_1)}{p(y_0-y_1)},\frac{p^2(x_0-x_1)}{p(y_0-y_1)}\right)=\left(-\frac{y_0y_1}{2p},\frac{y_0+y_1}{2}\right)=\left(-\frac{p}{2},\frac{1}{2}\left(y_0-\frac{p^2}{y_0}\right)\right)\).

En résumé, un point \(M(x,y)\) est sur l’orthoptique si et seulement si il existe \(y_0\neq0\) tel que \(\left\{ \begin{array}{l} x=-\frac{p}{2}\\ y=\frac{1}{2}\left(y_0-\frac{p^2}{y_0}\right) \end{array} \right.\) ce qui montre déjà qu’un point de l’orthoptique est sur la droite d’équation \(x = -\frac{p}{2}\) c’est-à-dire sur la directrice de la parabole. Réciproquement, la fonction \(y_0\mapsto\frac{1}{2}\left(y_0-\frac{p^2}{y_0}\right)\) est continue sur \(]0,+\infty[\), tend vers \(-\infty\) quand \(y_0\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures et tend vers \(+\infty\) quand \(y_0\) tend vers \(+\infty\). Donc \(\frac{1}{2}\left(y_0-\frac{p^2}{y_0}\right)\) décrit \(\Rr\) quand \(y_0\) décrit \(]0,+\infty[\), ce qui montre que l’on obtient la totalité de la directrice.

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