Le plan tangent \((P_0)\) en \((x_0,y_0,z_0)\) tel que \(x_0-8y_0z_0 = 0\) admet pour équation \((x+x_0) -8(z_0y+y_0z)=0\) ou encore \(x-8z_0y-8y_0z+8y_0z_0=0\).

Un repère de \((\mathcal{D})\) est \(\left(A,\overrightarrow{u}\right)\) où \(A(-2,1,0)\) et \(\overrightarrow{u}(4,0,-1)\).

\[\begin{align*}\ensuremath (\mathcal{D})\subset(P_0)&\Leftrightarrow \forall\lambda\in\Rr,\; (-2+4\lambda)-8z_0+8y_0\lambda+8y_0z_0=0\Leftrightarrow \forall\lambda\in\Rr,\;(8y_0+4)\lambda+8y_0z_0-8z_0-2 = 0\\ &\Leftrightarrow 8y_0+4=0\;\text{et}\;8y_0z_0-8z_0-2 = 0\Leftrightarrow y_0=- \frac{1}{2}\;\text{et}\;z_0=- \frac{1}{6}. \end{align*}\]

On trouve un et un seul plan tangent contenant la droite \((\mathcal{D})\), à savoir le plan tangent à \((\mathcal{S})\) en \(\left( \frac{2}{3},- \frac{1}{2},- \frac{1}{6}\right)\) d’équation \(3x+4y+12z+2=0\).

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