Définition : la fonction caractéristique d’une variable aléatoire \(U\) est la fonction définie pour tout \(t \in \R\) par : \[\Phi_U \colon t \longmapsto \mathbb{E}\left(e^{\textbf{i}tU}\right)\]
Soit \(\lambda >0\) et soit une variable aléatoire \(X\) dont la loi est définie par la densité :
\[f_X \colon x \mapsto \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|}\]
On dit alors que \(X\) suit une loi de Laplace \(\mathcal{L}(\lambda)\).
Montrer que \(|X|\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Montrer que la fonction caractéristique de \(X\) est \(\Phi_X \colon t \mapsto \frac{\lambda^2}{\lambda^2+t^2}\).
Soient \(Z_1, Z_2, Z_3, Z_4\) quatre variables aléatoires indépendantes suivant une même loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) . On rappelle que si \(Z\) suit une loi \(\mathcal{N}(0,1)\) alors sa fonction caractéristique est \(\Phi_Z \colon t \mapsto e^{-\frac{t^2}{2}}\).
Montrer que la fonction caractéristique de la variable aléatoire \(Z_1 \times Z_2\) peut s’écrire sous cette forme : \[\Phi_{Z_1Z_2} \colon t \longmapsto \int_\mathbb{R} \Phi_Z(tu) \mathrm{e}^{-u^2 / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\mathrm{d}u.\]
En déduire que : \[\Phi_{Z_1Z_2} \colon t \longmapsto \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.\]
En déduire la loi de la variable aléatoire \(Z_1Z_2 + Z_3Z_4\) puis la loi de \(|Z_1Z_2 + Z_3Z_4|\).