Une fonderie produit un alliage constitué de cuivre, de zinc et d’autres métaux. On modélise la répartition des deux principaux constituants par le couple \((X,Y)\), où :
\(X\) désigne la proportion de cuivre dans l’alliage (entre 0 et 1),
\(Y\) désigne la proportion de zinc dans l’alliage (entre 0 et 1),
avec la contrainte \(X + Y \leq 1\) (le reste étant composé d’autres métaux).
On suppose que \((X,Y)\) possède la densité conjointe suivante : \[f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c\,(x + y), & \text{si } x \geq 0,\ y \geq 0,\ x + y \leq 1, \\ 0, & \text{sinon}, \end{cases}\] où \(c\) est une constante.
Calculer la constante \(c\).
Déterminer les lois marginales du couple \((X,Y)\).
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(X+Y\) qui donne la proportion de cuivre et de zinc réunis.