Développée. \(M(\theta)=O+ae^\theta\overrightarrow{u}_\theta\) puis

\(\overrightarrow{\frac{dM}{d\theta}}=ae^\theta(\overrightarrow{u}_\theta+\overrightarrow{v}_\theta)=a\sqrt{2}e^{\theta}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{u}_\theta+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\overrightarrow{v}_\theta\right)=a\sqrt{2}e^\theta\overrightarrow{u}_{\theta+\frac{\pi}{4}}\).

On en déduit \(\frac{ds}{d\theta}=a\sqrt{2}e^\theta\) et \(\overrightarrow{\tau}(\theta)=\overrightarrow{u}_{\theta+\frac{\pi}{4}}\). On peut alors prendre \(\alpha(\theta)=\theta+\frac{\pi}{4}\) et donc \(\frac{d\alpha}{d\theta}=1\). Par suite

\(R(\theta)=\frac{ds/d\theta}{d\alpha/d\theta}=\frac{a\sqrt{2}e^\theta}{1}=a\sqrt{2}e^\theta\).

D’autre part, \(\overrightarrow{n}(\theta)=\overrightarrow{\tau}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\overrightarrow{u}_{\theta+\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\overrightarrow{u}_\theta+\overrightarrow{v}_\theta)\) et donc

\(\Omega(\theta)=M(\theta)+R(\theta)\overrightarrow{n}(\theta)=O+ae^\theta\overrightarrow{u}_\theta+a\sqrt{2}e^\theta.\frac{1}{\sqrt{2}}(-\overrightarrow{u}_\theta+\overrightarrow{v}_\theta)=O+ae^\theta\overrightarrow{v}_\theta=r_{O,\frac{\pi}{2}}(M(\theta))\).

La développée de la spirale logarithmique d’équation polaire \(r=ae^{\theta}\) est l’image de cette spirale par le quart de tour direct de centre \(O\).

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