Quand \(x\) tend vers \(+\infty\),

\[\sqrt{x^2-3}=x\left(1-\frac{3}{x^2}\right)^{1/2}=x\left(1-\frac{3}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})\right)=x-\frac{3}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right),\] et,

\[\sqrt[3]{8x^3+7x^2+1}=2x\left(1+\frac{7}{8x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)^{1/3}=2x\left(1+\frac{7}{24x}-\frac{49}{576x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=2x+\frac{7}{12}-\frac{49}{288x}+o\left(\frac{1}{x}\right).\] Donc,

\[f(x)\underset{x\rightarrow+\infty}{=}-x-\frac{7}{12}-\frac{383}{288x}+o\left(\frac{1}{x}\right).\] La courbe représentative de \(f\) admet donc en \(+\infty\) une droite asymptote d’équation \(y=-x-\frac{7}{12}\). De plus, le signe de \(f(x)-\left(-x-\frac{7}{12}\right)\) est, au voisinage de \(+\infty\), le signe de \(-\frac{383}{288x}\). Donc la courbe représentative de \(f\) est au-dessous de la droite d’équation \(y=-x-\frac{7}{12}\) au voisinage de \(+\infty\).

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