Puisque \(a>0\), \(b>0\) et que pour tout réel \(x\), \(\frac{a^x+b^x}{2}>0\), \(f\) est définie sur \(\Rr^*\), et pour

\(\forall x\in\Rr^*\), \(f(x)=\text{exp}\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)\right)\).

Etude en 0.

\[\begin{align*}\ensuremath \ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)&=\ln\left(\frac{e^{x\ln a}+e^{x\ln b}}{2}\right)\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x\left(\frac{1}{2}\ln a+\frac{1}{2}\ln b\right)+x^2\left(\frac{1}{4}\ln^2a+\frac{1}{4}\ln^2b\right)+o(x^2)\right)\\ &=\ln\left(1+x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+x^2\frac{\ln^2a+\ln^2b}{4}+o(x^2)\right)=x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+x^2\frac{\ln^2a+\ln^2b}{4}-\frac{1}{2}(x\ln\sqrt{ab})^2+o(x^2)\\ &=x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+\frac{1}{8}(\ln^2a-2\ln a\ln b+\ln^2b)x^2+o(x^2)=x\ln\left(\sqrt{ab}\right)+x^2\frac{1}{8}\ln^2\left(\frac{a}{b}\right)+o(x^2). \end{align*}\] Enfin,

\[f(x)=\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}=\mbox{exp}(\ln(\sqrt{ab})+\frac{1}{8}\ln^2\frac{a}{b}x+o(x))=\sqrt{ab}(1+\frac{1}{8}x\ln^2\frac{a}{b}+o(x)).\] Ainsi, \(f\) se prolonge par continuité en \(0\) en posant \(f(0)=\sqrt{ab}\). Le prolongement obtenu est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=\frac{\sqrt{ab}}{8}\ln^2\frac{a}{b}(>0)\). Etude en \(\bf{+\infty}\). \[\begin{align*}\ensuremath \frac{1}{x}\ln\left(\frac{1}{2}(a^x+b^x)\right)&=\frac{1}{x}\left(\ln(b^x)-\ln2+\ln\left(1+\left(\frac{a}{b}\right)^x\right)\right) =\frac{1}{x}(x\ln b+o(x))\quad(\mbox{car}\;0<\frac{a}{b}<1)\\ &=\ln b+o(1). \end{align*}\] et \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=b(=\mbox{Max}\{a,b\})\). Etude en \(\bf{-\infty}\). Pour tout réel \(x\),

\[f(-x)=\left(\frac{a^{-x}+b^{-x}}{2}\right)^{-1/x}= \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2a^xb^x}\right)^{-1/x}=\frac{ab}{f(x)},\] et donc,

\[\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}f(-X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{ab}{f(X)}=\frac{ab}{b}=a\quad(=\mbox{Min}\{a,b\}).\] Dérivée et variations. \(f\) est dérivable sur \(]-\infty,0\cup]0,+\infty[\) en vertu de théorèmes généraux (et aussi en \(0\) d’après l’étude faite plus haut), et pour \(x\neq0\) (puisque \(f>0\) sur \(\Rr^*\)),

\[\frac{f'(x)}{f(x)}=(\ln f)'(x)=\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)\right)'(x)=-\frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)+\frac{1}{x} \frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}.\] \(f'\) a le même signe que \((\ln f)'\) qui, elle-même, a le même signe que la fonction \(g\) définie sur \(\Rr\) par

\[\forall x\in\Rr,\;g(x)=-\ln\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)+x\frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}.\] \(g\) est dérivable sur \(\Rr\) et, pour \(x\) réel,

\[\begin{align*}\ensuremath g'(x)&=-\frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}+\frac{a^x\ln a+b^x\ln b}{a^x+b^x}+x\frac{(a^x\ln^2a+b^x\ln^2b)(a^x+b^x)-(a^x\ln a+b^x\ln b)^2}{(a^x+b^x)^2}\\ &=x\frac{(ab)^x(\ln a-\ln b)^2}{(a^x+b^x)^2}. \end{align*}\] \(g'\) est donc strictement négative sur \(]-\infty,0[\) et strictement positive sur \(]0,+\infty[\). Par suite, \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty,0]\) et strictement croissante sur \([0,+\infty[\). \(g'\) admet donc un minimum global strict en \(0\) et puisque \(g(0)=0\), on en déduit que \(g\) est strictement positive sur \(\Rr^*\). De même, \(f'\) est strictement positive sur \(\Rr^*\). En tant compte de l’étude en \(0\), on a montré que \(f\) est dérivable sur \(\Rr\) et que \(f'\) est strictement positive sur \(\Rr\). \(f\) est donc strictement croissante sur \(\Rr\). Le graphe de \(f\) a l’allure suivante :

\[\]

On peut noter que les inégalités \(\lim_{x\rightarrow -\infty}f<f(-1)<f(0)<f(1)<\lim_{x\rightarrow +\infty}f\) fournissent :

\[a<\frac{1}{\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b.\]

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