Soit \(\displaystyle Y_n=\max_{1\leq i\leq n} X_i\). On a \(\displaystyle P(Y_n\leq t)=\prod_{i=1}^n P(X_i\leq t)=P(X_1\leq t)^n\) et de même \(\displaystyle P(Y_n\geq t)=P(X_1\geq t)^n\).

On veut montrer que \[\forall\epsilon>0,\ P(|\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln n}}-1|\geq \epsilon)\to 0\quad \mbox{quand}\quad n\to +\infty\quad \mbox{(convergence en probabilité)}.\] On peut écrire \[\{|\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln n}}-1|\geq\epsilon\}=\{|Y_n-\sqrt{2\ln n}|\geq \epsilon \sqrt{2\ln n}\}=\{Y_n\geq (1+\epsilon)\sqrt{2\ln n}\}\cup \{Y_n\leq (1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}\}\] et cette union est disjointe donc \[P(|\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln n}}-1|\geq\epsilon)=P(Y_n\geq (1+\epsilon)\sqrt{2\ln n}) +P(Y_n\leq (1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}).\] On va montrer que ces 2 probabilités tendent vers \(0\).

\[\begin{aligned} P(Y_n\leq (1-\epsilon)\sqrt{2\ln n})&=&P(X_1\leq (1-\epsilon)\sqrt{2\ln n})^n =\left(1-P(X_1>(1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}\right)^n\\ &=&\left(1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}}^{+\infty} e^{-t^2/2}\,dt\right)^n\\ &\leq & \left(1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(\ln n)(1-\epsilon)^2} \left(\frac{1}{(1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}}-\frac{1}{((1-\epsilon)\sqrt{2\ln n})^3} \right)\right)^n\mbox{ par 1.} \end{aligned}\]

Comme \(e^{-(\ln n)(1-\epsilon)^2}=n^{-(1-\epsilon)^2}\), la quantité \[n\ln\left(1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(\ln n)(1-\epsilon)^2} \left(\frac{1}{(1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}}-\frac{1}{((1-\epsilon)\sqrt{2\ln n})^3} \right)\right)\] est équivalent à \[-\frac{1}{\sqrt{2\pi}} n^{2\epsilon-\epsilon^2} \left(\frac{1}{(1-\epsilon)\sqrt{2\ln n}}-\frac{1}{((1-\epsilon)\sqrt{2\ln n})^3} \right),\quad \mbox{donc à}\quad \displaystyle -\frac{n^{2\epsilon-\epsilon^2}}{\sqrt{2\pi}(1-\epsilon) \sqrt{2\ln n}} .\]

Si \(\epsilon>0\) est assez petit, \(\alpha=2\epsilon-\epsilon^2>0\), donc \(\displaystyle \frac{n^{2\epsilon-\epsilon^2}}{\sqrt{\ln n}}\to +\infty\).
En reprenant l’exponentielle, on obtient que \(P(Y_n\leq (1-\epsilon)\sqrt{2\ln n})\) tend vers \(0\) quand \(n\to +\infty\). \[P(Y_n\geq (1+\epsilon)\sqrt{2\ln n})=(P(X_1\geq (1+\epsilon)\sqrt{2\ln n}))^n =\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(1+\epsilon)\sqrt{2\ln n}}^{+\infty} e^{-t^2/2}\,dt\right)^n.\] Donc par 1., \(\displaystyle\ln (P(Y_n\geq (1+\epsilon)\sqrt{2\ln n}))\) est inférieur ou égal à \[n\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(\ln n)(1+\epsilon)^2}\frac{1}{(1+\epsilon) \sqrt{2\ln n}}\right)=-n (\ln n)(1+\epsilon)^2-n\ln(\sqrt{2\pi}(1+\epsilon)\sqrt{2\ln n}) \to -\infty\] donc \(\displaystyle P(Y_n\geq (1+\epsilon)\sqrt{2\ln n})\) tend vers \(0\) quand \(n\to +\infty\). Conclusion : \(\displaystyle\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln n}}\stackrel{P}{\longrightarrow}1\).

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