Pour tout \(\epsilon>0\), on a \(P(A(1-\epsilon))=1\). Or \(A(1-\epsilon)=\left\{\frac{X_n}{\ln n}>1-\epsilon \mbox{ pour une infinité de }n\right\}\), donc si \(\omega\) appartient à \(A(1-\epsilon)\) alors \(\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\frac{X_n(\omega)}{n}\geq 1-\epsilon\). Soit \(N_k\) le complémentaire de \(A(1-1/k)\) et \(N=\bigcup_{k\geq 1} N_k\). On a \(P(N_k)=0\) donc \(P(N)\leq \sum_{k\geq 1}P(N_k)=0\) (somme dénombrable d’ensembles de mesures nulles). Si \(\omega\not \in N\) alors \(\forall k\geq 1\), \(\omega\not \in N_k\) donc \(\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\frac{X_n(\omega)}{n}\geq 1-1/k\), et comme \(1/k\) tend vers \(0\) alors \(\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\frac{X_n(\omega)}{n}\geq 1\) \(\forall \omega\not\in N\).

\(\forall\epsilon>0\), on a \(P(A(1+\epsilon))=0\) donc \(P((A(1+\epsilon))^c)=1\). Or \[(A(1+\epsilon))^c=\liminf (A_n(1+\epsilon))^c=\left\{\frac{X_n}{n}\leq \alpha \mbox{ à partir d'un certain rang}\right\},\] donc si \(\omega\in (A(1+\epsilon))^c\) alors \(\displaystyle \limsup_{n\to +\infty}\frac{X_n}{\ln n}\leq 1+\epsilon\). Soit \(N'=\displaystyle\bigcup_{k\geq 1} A(1+1/k)\). On a \(P(A(1+1/k))=0\) pour tout \(k\geq 1\) donc \(P(N')=0\). Si \(\omega\not \in N'\) alors pour tout \(k\geq 1\), \(\omega\in (A(1+1/k))^c\) donc \[\limsup_{n\to+\infty}\frac{X_n(\omega)}{n}\leq 1+1/k,\] et comme \(1/k\) tend vers \(0\) alors \(\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\frac{X_n(\omega)}{n}\leq 1\).

Conclusion : \(\forall \omega\not\in N\cup N'\) alors \(\displaystyle \limsup_{n\to+\infty} \frac{X_n(\omega)}{\ln n}=1\). Autrement dit \(\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\frac{X_n}{\ln n}=1\) presque sûrement, puisque \(P(N\cup N')\leq P(N)+P(N')=0\).

exo7 6950