(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de \({\cal{M}}_n(\R)\) telles que \(MA=AM\). On suppose que \(M\) admet \(n\) valeurs propres distinctes.
Soit \(x\) un vecteur propre de \(M\) de valeur propre \(\lambda\), montrer que \(MAx=\lambda Ax,\) en déduire que les vecteurs \(x\) et \(Ax\) sont colinéaires, puis que tout vecteur propre de \(M\) est un vecteur propre de \(A\).
On note maintenant \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\) les valeurs propres de \(M\) et \(\mu_1,\cdots,\mu_n\) celles de \(A\).
Montrer par récurrence sur \(n\) l’égalité suivante : \[\begin{vmatrix}1 &\lambda_1 &\cdots &\lambda_1^{n-1} \\ \vdots& & &\vdots \\ 1 &\lambda_n &\cdots & \lambda_n^{n-1}\end{vmatrix}= \prod_{1\leq i<j\leq n}(\lambda_i-\lambda_j).\] En déduire que le système suivant \[\left\{\begin{aligned}\mu_1&=\alpha_0+\alpha_1\lambda_1+\cdots+\alpha_{n-1}\lambda_1^{n-1} \\ \vdots \\ \mu_n &=\alpha_0+\alpha_1\lambda_n+\cdots+\alpha_{n-1}\lambda_n^{n-1} \\ \end{aligned}\right.\] admet une unique solution \((\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1})\in\R^n.\)
Soient \(M'\) et \(A'\) les matrices diagonales suivantes : \[M'=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 &\ddots & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 &\lambda_n \\ \end{pmatrix},\ \ A'=\begin{pmatrix}\mu_1 & 0 &\cdots & 0 \\ 0 &\ddots & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 &\mu_n \\ \end{pmatrix}.\] Montrer qu’il existe des réels \(\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1}\) tels que \[A'=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k M'^k\] et en déduire qu’il existe des réels \(\alpha_0,\cdots,\alpha_{n-1}\) tels que \[A=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha_k M^k.\]