Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose \(N_1(x,y)=\text{Max} (\sqrt{x^2+y^2},|x-y|)\) et \(N_2(x,y)=\sqrt{ x^2/9 + y^2/4 }.\)
1
Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur \(\R^2\) et représenter les boules unités fermées associées à ces normes.
2
Montrer que \(N_2 \leq \| . \|_\infty \leq \| . \|_2 \leq N_1 \leq \|.\|_1 \leq 4N_2.\)
3
Déterminer le plus petit réel \(k>0\), tel que \(\|.\|_1 \leq kN_2.\) (utiliser Cauchy-Schwarz)