Soient \(k\) et \(l\) deux entiers tels que \(1\leq k\leq n\) et \(1\leq l\leq n\). Le coefficient ligne \(k\), colonne \(l\) de \(A\overline{A}\) vaut :

\[\sum_{j=1}^{n}\omega^{(k-1)(j-1)}\omega^{-(j-1)(l-1)}=\sum_{j=1}^{n}(\omega^{k-l})^{j-1}.\]

1er cas. Si \(k=l\), \(\omega^{k-l}=1\), et le coefficient vaut \(\sum_{j=1}^{n}1=n\).
2ème cas. Si \(k\neq l\). On a \(-(n-1)\leq k-l\leq n-1\) avec \(k-l\neq0\) et donc, \(k-l\) n’est pas multiple de \(n\). Par suite, \(\omega^{k-l}\neq1\) et

\[\sum_{j=1}^{n}(\omega^{k-l})^{j-1}=\frac{1-(\omega^{k-l})^n}{1-\omega}=\frac{1-1^{k-l}}{1-\omega}=0.\]

En résumé, \(A\overline{A}=nI_n\). Donc \(A\) est inversible à gauche et donc inversible et \(A^{-1}=\frac{1}{n}\overline{A}\).

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